二次函数 编辑
在数学中，二次函数表示形为



f

=
a

x

2


+
b
x
+
c




{\displaystyle f=ax^{2}+bx+c\,\!}

的多项式函数，其中，



x


{\displaystyle x}

为自变量，



a


{\displaystyle a}

、



b


{\displaystyle b}

、



c


{\displaystyle c}

分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的函数图像是一条主轴平行于



y


{\displaystyle y}

轴的抛物线。
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相关
凸函数是指上境图为凸集的一类函数。换言之，其函数图形上，任意两点连成的线段，皆位于图像的上方。二阶可导的一元函数



f


{\displaystyle f}

为凸，当且仅当其定义域为凸集，且函数的二阶导数




f
″



{\displaystyle f''}

在整个定义域上非负。一元凸函数的熟知例子有二次函数



x
↦

x

2




{\displaystyle x\mapsto x^{2}}

和指数函数



x
↦

e

x




{\displaystyle x\mapsto e^{x}}

。直观理解，凸函数的图像形如开口向上的杯



∪


{\displaystyle \cup }

，而相反，凹函数则形如开口向下的帽



∩


{\displaystyle \cap }

。
最优控制理论主要探讨的是让动力系统以在最小成本来运作，若系统动态可以用一组线性微分方程表示，而其成本为二次函数泛函，这类的问题称为线性二次问题。此类问题的解即为线性二次调节器，简称LQR。
凸函数是指上境图为凸集的一类函数。换言之，其函数图形上，任意两点连成的线段，皆位于图像的上方。二阶可导的一元函数



f


{\displaystyle f}

为凸，当且仅当其定义域为凸集，且函数的二阶导数




f
″



{\displaystyle f''}

在整个定义域上非负。一元凸函数的熟知例子有二次函数



x
↦

x

2




{\displaystyle x\mapsto x^{2}}

和指数函数



x
↦

e

x




{\displaystyle x\mapsto e^{x}}

。直观理解，凸函数的图像形如开口向上的杯



∪


{\displaystyle \cup }

，而相反，凹函数则形如开口向下的帽



∩


{\displaystyle \cap }

。
凸函数是指上境图为凸集的一类函数。换言之，其函数图形上，任意两点连成的线段，皆位于图像的上方。二阶可导的一元函数



f


{\displaystyle f}

为凸，当且仅当其定义域为凸集，且函数的二阶导数




f
″



{\displaystyle f''}

在整个定义域上非负。一元凸函数的熟知例子有二次函数



x
↦

x

2




{\displaystyle x\mapsto x^{2}}

和指数函数



x
↦

e

x




{\displaystyle x\mapsto e^{x}}

。直观理解，凸函数的图像形如开口向上的杯



∪


{\displaystyle \cup }

，而相反，凹函数则形如开口向下的帽



∩


{\displaystyle \cap }

。
最优控制理论主要探讨的是让动力系统以在最小成本来运作，若系统动态可以用一组线性微分方程表示，而其成本为二次函数泛函，这类的问题称为线性二次问题。此类问题的解即为线性二次调节器，简称LQR。