黎曼流形是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量场的散度。
在物理里，场是一个以时空为变数的物理量。空间中弥漫着的基本相互作用被命名为“场”。场可以分为纯量场、向量场和张量场等，依据场在时空中每一点的值是纯量、向量还是张量而定。例如，牛顿万有引力定律重力场是一个向量场：标示引力场在时空中每一个的值需要三个量，此即为引力场在每一点的引力场向量分量。更进一步地，在每一范畴之中，场还可以分为“古典场”和“量子场”两种，依据场的值是数字或算符而定。
向量球谐函数是应用于球座标系的拉普拉斯方程的向量解，是球谐函数的向量衍伸形式。在必须计算向量场的经典电磁学等领域中被广泛应用。
涡量，也称为涡度，是一个流体力学的概念，用以描述流体的旋转情况。数学上，涡度
ζ
{\displaystyle \zeta }
是描述速度场
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
的旋度，是一个向量场。
在电磁学里，磁石、磁铁、电流及时变电场，都会产生磁场。处于磁场中的磁性物质或电流，会因为磁场的作用而感受到磁力，因而显示出磁场的存在。磁场是一种向量场；磁场在空间里的任意位置都具有方向和数值大小。
在电磁学里，磁石、磁铁、电流及时变电场，都会产生磁场。处于磁场中的磁性物质或电流，会因为磁场的作用而感受到磁力，因而显示出磁场的存在。磁场是一种向量场；磁场在空间里的任意位置都具有方向和数值大小。
分岔理论或分歧理论是数学中研究一群曲线在本质或是拓扑结构上的改变。一群曲线可能是向量场内的积分曲线，也可能是一群类似微分方程的解。
在向量分析中，一螺线向量场是一种向量场v，其散度为零：
纯量势或称纯量位，在向量分析与物理学中是一个基本概念。给定一向量场F，其纯量势V为一纯量场；对此纯量场取负值梯度则得到F：
罗斯π引理，得名自以撒·麦克·罗斯，是计算最优控制的结果。以产生反馈控制的Caratheodory-π解为基础，罗斯π引理提到存在基本的时间常数，是一控制系统需要针对其可控制性及稳定性理论进行计算的。此时间常数称为罗斯时间常数，和统御非线性控制系统之向量场的利普希茨连续成反比。
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