向量空间是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的基本对象，是指一组向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律。
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在数学领域里，算子有别于物理的算符，是一种映射，一个向量空间的元素通过此映射在另一个向量空间中产生另一个元素。
向量 是数学、物理学和工程学等多个自然科学中的基本概念。指一个同时具有数值和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。理论数学中向量的定义为任何在向量空间中的元素。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量。向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量、数量或纯量，即只有大小、绝大多数情况下没有方向、不满足平行四边形法则的量。
数学中，实数域上的向量空间V的复化是在复数域上对应的向量空间V，就是说它有与V相同的维数，V在实数域上的基可以作为V在复数域上的基。
在数学几何学与物理中，旋量是复数向量空间中的的元素。旋量乃自旋群的表象，类似于欧几里得空间中的向量以及更广义的张量，当欧几里得空间进行无限小旋转时，旋量做相应的线性映射。当如此一系列这样的小旋转组合成一定量的旋转时，这些旋量转换的次序会造成不同的组合旋转结果，与向量或张量的情形不同。当空间从0°开始，旋转了完整的一圈，旋量发生了正负号变号，这个特征即是旋量最大的特点。在一给定维度下，需要旋量才能完整地描述旋转，如此引入了额外数量的维度。
散度或称发散度，是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。
代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上的有限维向量空间。
域上的代数或域代数，一般可简称为代数，是在向量空间的基础上定义了一个双线性映射的乘法运算而构成的代数结构。
抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格与代数。“抽象代数”一词出现于20世纪初，作为与其他代数领域相区别之学科。
在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换
P
{\displaystyle P}
，满足
P
2
=
P
{\displaystyle P^{2}=P}
,也就是说，当
P
{\displaystyle P}
两次作用于某个值，与作用一次得到的结果相同。是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。同现实中阳光将事物投影到地面上一样，投影变换将整个向量空间映射到它的其中一个子空间，并且在这个子空间中是恒等变换。
词嵌入是自然语言处理中语言模型与表征学习技术的统称。概念上而言，它是指把一个维数为所有词的数量的高维空间嵌入到一个维数低得多的连续向量空间中，每个单词或词组被映射为实数数域上的向量。
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