数学中，复平面是用水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的复数的几何表示。它可视为一个具有特定代数结构笛卡儿平面，一个复数的实部用沿着 x-轴的位移表示，虚部用沿着 y-轴的位移表示。
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牛顿分形是将牛顿法应用于一给定多项式p ∈ ℂ[Z]或超越函数而得到的复平面上的一个边界。它是由牛顿法所定义的亚纯函数z ↦ z − p/p′的朱利亚集。当不存在吸引循环时，它将复平面划分为不同的区域Gk，每个区域与多项式的根ζk相关联，其中k = 1, …, deg。此时牛顿分形类似于曼德博集合，并且与其他分形一样，它将简单的数学描述变成了非常繁复的图像。从数值分析的角度而言，牛顿分形表现出牛顿法在收敛速度区域之外对于初始点的选择非常敏感。
卢曼-缅绍夫定理是复分析中的一条定理，可用于判断复函数的解析性。该定理指出，定义在复平面上某个区域内的连续函数是解析函数，当且仅当其视作
R
2
→
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
的映射时，四个偏导数处处存在且满足柯西-黎曼方程。该定理由卢曼于1923年提出，于1931年由缅绍夫给出完整证明。虽然定理涉及初等数学领域，但其证明需运用现代实变函数理论。
曼德博集合是一种在复平面上组成分形的点的集合，以数学家本华·曼德博的名字命名。曼德博集合与朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式来进行迭代。
数学上，共形映射和拟共形映射的理论中，一个曲线族
Γ
{\displaystyle \Gamma }
的极值长度是
Γ
{\displaystyle \Gamma }
的一个共形不变量。确切来说，设
D
{\displaystyle D}
是复平面中的开集，
Γ
{\displaystyle \Gamma }
是
D
{\displaystyle D}
中的路径族，
f
:
D
→
D
′
{\displaystyle f:D\to D'}
是一个共形映射。那么
Γ
{\displaystyle \Gamma }
的极值长度等于
Γ
{\displaystyle \Gamma }
在
f
{\displaystyle f}
下的像的极值长度。因此极值长度是研究共形映射的有用工具。
全纯函数是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的开集上的，在复平面
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
中取值的，在每点上皆复可微的函数。全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数。在一点
a
{\displaystyle a}
全纯，不仅表意味着
a
{\displaystyle a}
可微，而且表示在某个中心为
a
{\displaystyle a}
的复平面上的开邻域上可微。
数学上，
n
{\displaystyle \,n\,}
次单位根是
n
{\displaystyle \,n\,}
次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正多边形的顶点，但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。
数学上，曲面的单值化定理是说任何曲面上都有一个常高斯曲率的度量。事实上，在每一个给定的共形类中我们都可以找到一个常高斯曲率的度量。等价的说，用复分析的语言，任何单连通的黎曼曲面都共形等价于复平面、单位圆盘和黎曼球面三者之一。
数学中，复数的辐角是指复数在复平面上对应的向量和正向实数轴所成的有向角。复数的辐角值可以是一切实数，但由于相差
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
的辐角在实际应用中没有差别，所以定义复数的辐角主值为辐角同余
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
后的余数，定义取值范围在
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
到
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
之间。复数的辐角是复数的重要性质，在不少理论中都有重要作用。
数学上，曲面的单值化定理是说任何曲面上都有一个常高斯曲率的度量。事实上，在每一个给定的共形类中我们都可以找到一个常高斯曲率的度量。等价的说，用复分析的语言，任何单连通的黎曼曲面都共形等价于复平面、单位圆盘和黎曼球面三者之一。
复分析中的开映射定理内容如下：若U是复平面C的区域，且f : U → C 是非定值的全纯函数，则f为开映射和闭映射。
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