子群 编辑
假设






{\displaystyle }

是一个群，若



H


{\displaystyle H}

是



G


{\displaystyle G}

的一个非空子集且同时



H


{\displaystyle H}

与相同的二元运算



∗


{\displaystyle *}

亦构成一个群，则






{\displaystyle }

称为






{\displaystyle }

的一个子群。参阅群论。
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相关
一个物件的对称群是指在复合函数运算下不变的所有等距同构所构成的群。其为所考虑之空间的等距同构中的一个子群。
在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义：



[
x
,
y
]
=
x
y

x

−
1



y

−
1




{\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}

，如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群{e}。
在数学中，特别是叫做群论的抽象代数领域中，半直积是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。半直积是直积的推广。半直积是作为集合的笛卡尔积，但带有特定的乘法运算。
在数学里，尤其是在李群的理论中，一根系的外尔群是指经由正交于根之超平面的镜面而产生之根系的等距同构群之子群。例如，根系A2包含中心为原点之正六边形的角。根系的对称之整个群因此是有12阶的二面体群。外尔群产生于将六边形平分成两半的线之镜射；其为6阶的二面体群。
在数学里，尤其是在李群的理论中，一根系的外尔群是指经由正交于根之超平面的镜面而产生之根系的等距同构群之子群。例如，根系A2包含中心为原点之正六边形的角。根系的对称之整个群因此是有12阶的二面体群。外尔群产生于将六边形平分成两半的线之镜射；其为6阶的二面体群。
数学上，若G为群，H为其子群，而g为G中元素，则
拉格朗日定理是群论的定理，利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的因数值。
在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义：



[
x
,
y
]
=
x
y

x

−
1



y

−
1




{\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}

，如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群{e}。
数学上，若G为群，H为其子群，而g为G中元素，则
在群论中，凯莱定理，以阿瑟·凯莱命名，声称所有群G 群同构于在G上的对称群的子群。这可以被理解为G在G的元素上的群作用的一个例子。