对偶空间 - The mini wiki

速降函数空间是数学中一类函数的总称，也称为施瓦茨空间，指的是当X值趋向于无穷大时，函数值f趋近0的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是傅里叶变换对于这个空间是一个自同构，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对

S

{\displaystyle {\mathcal {S}}}

的对偶空间中的元素，也就是缓增广义函数，来定义其傅里叶变换。速降函数空间的别称“施瓦茨空间”得名于法国数学家洛朗·施瓦茨，速降函数空间里的函数也被称为施瓦茨函数。

泛函指以函数构成的向量空间为定义域，实数为值域为的“函数”，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

数学中，一个欧几里得空间

R

n

{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}

上的隆起函数

f
:

R

n

→

R

{\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }}

是一个仅在某“一小块区域”上取值不为零的光滑函数。它在

R

n

{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}

绝大部分区域取值都是0，仅仅在某个紧区域上有非零值。

R

n

{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}

所有的隆起函数的构成一个函数空间，记作

C

0

∞

{\displaystyle C_{0}^{\infty }}

或

C

c

∞

{\displaystyle C_{c}^{\infty }}

。在适当拓扑结构中，它的对偶空间是分布空间。

自反空间是泛函分析中的概念。如果一个巴拿赫空间的对偶空间的连续对偶空间“是”其自身，就称这个空间为自反空间。其中的“是”表示两者无论作为线性向量空间还是作为拓扑空间都是等价的。自反的巴拿赫空间常常可以通过它们的集合特性来刻画。

泛函指以函数构成的向量空间为定义域，实数为值域为的“函数”，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

速降函数空间是数学中一类函数的总称，也称为施瓦茨空间，指的是当X值趋向于无穷大时，函数值f趋近0的速度“足够快”的函数。速降函数空间的一个重要性质是傅里叶变换对于这个空间是一个自同构，也就是说，速降函数进行傅里叶变换之后仍然会是速降函数。这个性质使得可以对

S

{\displaystyle {\mathcal {S}}}

的对偶空间中的元素，也就是缓增广义函数，来定义其傅里叶变换。速降函数空间的别称“施瓦茨空间”得名于法国数学家洛朗·施瓦茨，速降函数空间里的函数也被称为施瓦茨函数。

在数学中，特别是泛函分析中，如果一个在巴拿赫空间中取值的函数与其所在空间的对偶空间中的任意元素的复合函数是一般意义下的可测函数，则该函数是弱可测函数。对于可分空间，弱可测性和强可测性的概念是一致的。

对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。