微分形式 - The mini wiki

辛几何，也叫辛拓扑，是微分几何的一个分支。其研究对象为辛流形，亦即带有闭微分形式非退化微分形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿力学，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。

数学上，一个辛流形是一个装备了一个闭微分形式和恰当微分形式、非退化微分形式ω的光滑流形，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学的抽象表述中的流形的余切丛自然的出现，例如在经典力学的哈密顿力学中，该领域的一个主要原因之一：一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模，而该流形的余切丛描述了该系统的相空间。

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式

α

{\displaystyle \alpha }

是微分算子

d

{\displaystyle d}

的核，即

d
α
=
0

{\displaystyle d\alpha =0}

的微分形式；而恰当形式

α

{\displaystyle \alpha }

是微分算子

d

{\displaystyle d}

的像，即存在某个微分形式

β

{\displaystyle \beta }

使得

α
=
d
β

{\displaystyle \alpha =d\beta }

，

β

{\displaystyle \beta }

称为关于

α

{\displaystyle \alpha }

的一个“本原”。

数学上，德拉姆上同调是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式

α

{\displaystyle \alpha }

是微分算子

d

{\displaystyle d}

的核，即

d
α
=
0

{\displaystyle d\alpha =0}

的微分形式；而恰当形式

α

{\displaystyle \alpha }

是微分算子

d

{\displaystyle d}

的像，即存在某个微分形式

β

{\displaystyle \beta }

使得

α
=
d
β

{\displaystyle \alpha =d\beta }

，

β

{\displaystyle \beta }

称为关于

α

{\displaystyle \alpha }

的一个“本原”。

斯托克斯定理，也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理、旋度定理、开尔文-斯托克斯定理，是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因为维数跟空间的不同而有不同的表现形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。

数学中，流形 M 上一个向量值微分形式是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。

数学上，德拉姆上同调是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式

α

{\displaystyle \alpha }

是微分算子

d

{\displaystyle d}

的核，即

d
α
=
0

{\displaystyle d\alpha =0}

的微分形式；而恰当形式

α

{\displaystyle \alpha }

是微分算子

d

{\displaystyle d}

的像，即存在某个微分形式

β

{\displaystyle \beta }

使得

α
=
d
β

{\displaystyle \alpha =d\beta }

，

β

{\displaystyle \beta }

称为关于

α

{\displaystyle \alpha }

的一个“本原”。