策梅洛-弗兰克尔集合论 编辑
策梅洛-弗兰克尔集合论，含选择公理时常简写为ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理化集合论，不含选择公理的则简写为ZF。它是二十世纪早期为了建构一个不会导致类似罗素悖论的矛盾的集合论所提出的一个公理系统。
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完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论；自洽性指公理系统内不存在悖论。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何，或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一，但后两者并不满足完备性要求，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德尔不完备定理并不矛盾，前者断言不存在既真又假的命题，而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题，就好比第五公设之于欧几里得几何，连续统假设之于公理化集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。
亚伯拉罕·弗伦克尔是一位德国犹太人数学家，策梅洛-弗兰克尔集合论的提出者之一，1956年获以色列奖。
保罗·约瑟夫·寇恩 ，美国数学家，他证明策梅洛-弗兰克尔集合论加上选择公理 不能反驳连续统假设 的否命题，而ZF不能反驳选择公理 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH和AC分别独立于ZFC和ZF。寇恩在证明中创造了力迫法，如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖。
保罗·约瑟夫·寇恩 ，美国数学家，他证明策梅洛-弗兰克尔集合论加上选择公理 不能反驳连续统假设 的否命题，而ZF不能反驳选择公理 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH和AC分别独立于ZFC和ZF。寇恩在证明中创造了力迫法，如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖。
保罗·约瑟夫·寇恩 ，美国数学家，他证明策梅洛-弗兰克尔集合论加上选择公理 不能反驳连续统假设 的否命题，而ZF不能反驳选择公理 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH和AC分别独立于ZFC和ZF。寇恩在证明中创造了力迫法，如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖。
保罗·约瑟夫·寇恩 ，美国数学家，他证明策梅洛-弗兰克尔集合论加上选择公理 不能反驳连续统假设 的否命题，而ZF不能反驳选择公理 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH和AC分别独立于ZFC和ZF。寇恩在证明中创造了力迫法，如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖。
传递集合、即在策梅洛-弗兰克尔集合论或ZFC集合论中，一个集合



X


{\displaystyle X}

是传递的，如果
完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论；自洽性指公理系统内不存在悖论。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何，或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一，但后两者并不满足完备性要求，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德尔不完备定理并不矛盾，前者断言不存在既真又假的命题，而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题，就好比第五公设之于欧几里得几何，连续统假设之于公理化集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。
ZFC系统无法确定的命题列表乃一数学命题列表。在策梅洛-弗兰克尔集合论系统被假设为一致性的前提下，以下的数学命题被证明了与ZFC系统彼此独立。与ZFC独立乃指该命题不能从ZFC的公理出发而被证明或证否。
完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论；自洽性指公理系统内不存在悖论。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何，或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一，但后两者并不满足完备性要求，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德尔不完备定理并不矛盾，前者断言不存在既真又假的命题，而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题，就好比第五公设之于欧几里得几何，连续统假设之于公理化集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。