可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 PAP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间，则线性映射 T : V → V 被称为可对角化的，如果存在 V 的一个基，T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
在数学几何学与物理中，旋量是复数向量空间中的的元素。旋量乃自旋群的表象，类似于欧几里得空间中的向量以及更广义的张量，当欧几里得空间进行无限小旋转时，旋量做相应的线性映射。当如此一系列这样的小旋转组合成一定量的旋转时，这些旋量转换的次序会造成不同的组合旋转结果，与向量或张量的情形不同。当空间从0°开始，旋转了完整的一圈，旋量发生了正负号变号，这个特征即是旋量最大的特点。在一给定维度下，需要旋量才能完整地描述旋转，如此引入了额外数量的维度。
量子力学的数学表述是对量子力学进行严谨描述的数学表述体系。与20世纪初发展起来的旧量子论的数学形式不同，它使用了一些抽象的代数结构，如无穷维希尔伯特空间和这些空间上的线性映射。这些结构中有许多源于泛函分析。这一纯粹数学研究领域的发展过程既平行于又受影响于量子力学的需要。简而言之，物理可观察量的值，如能量和动量的值不再作为相空间上的函数值，而是作为特征向量，或者更为精确地来说是希尔伯特空间中线性算子的谱值。
导子在抽象代数中是指域上的代数上的一个函数，推广了导数算子的某些特征。明确地，给定一个环或体 k 上一个代数 A，一个 k-导子是一个 k-线性映射 D: A → A，满足乘积法则：
在线性代数中，线性泛函是指由向量空间到对应纯量体的线性映射。在 欧几里得空间中，向量空间的向量以行向量表示；线性泛函则会以列向量表示，在向量上的作用则为它们的矩阵积。一般地，如果
V
{\displaystyle V}
是域
k
{\displaystyle k}
上的向量空间，线性泛函
f
{\displaystyle f}
是一个从
V
{\displaystyle V}
到
k
{\displaystyle k}
的函数，它有以下的线性特性：
基底的变换或称基的变换在线性代数中，n 维向量空间的基是 n 个向量 α1, ..., αn 的序列，带有所有这个空间中的向量可以唯一的表达为基向量的线性组合的性质。因为经常需要处理一个向量空间的多于一个的基，在线性代数中能够轻易的变换向量的逐坐标表达，和变换关于一个基的线性映射到关于另一个基的等价表达是根本重要的。这种变换叫做基变更。
导子在抽象代数中是指域上的代数上的一个函数，推广了导数算子的某些特征。明确地，给定一个环或体 k 上一个代数 A，一个 k-导子是一个 k-线性映射 D: A → A，满足乘积法则：
基底的变换或称基的变换在线性代数中，n 维向量空间的基是 n 个向量 α1, ..., αn 的序列，带有所有这个空间中的向量可以唯一的表达为基向量的线性组合的性质。因为经常需要处理一个向量空间的多于一个的基，在线性代数中能够轻易的变换向量的逐坐标表达，和变换关于一个基的线性映射到关于另一个基的等价表达是根本重要的。这种变换叫做基变更。
在数学中，在复数向量空间V上的半双线性形式是映射V × V → C，它在一个参数上是线性映射的而在另一个参数上是反线性映射的。比较于双线性形式，它在两个参数上都是线性的；要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候，把半双线性形式称为双线性形式。
在数学中，在复数向量空间V上的半双线性形式是映射V × V → C，它在一个参数上是线性映射的而在另一个参数上是反线性映射的。比较于双线性形式，它在两个参数上都是线性的；要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候，把半双线性形式称为双线性形式。
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