在抽象代数之分支环论中，一个交换环是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。
八元数是以实数构建的8维度赋范可除代数，为四元数结合律推广的超复数，通常记为O或
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
。八元数的8个维度可以视为2个4维度之四元数的组合。八元数不具备结合律和交换律，但具备交错代数的特性，并保有幂结合性。
数学里的非阿贝尔群，也称非交换群，是一种群。它由自身的集合G和二元运算 * 构成，在符合群的定义之余，G至少存在两个元素a和b，满足条件
a
∗
b
≠
b
∗
a
{\displaystyle a*b\neq b*a}
。
非阿贝尔是为了与阿贝尔群区分开来，其中所有的元素都满足交换律。
在抽象代数中，十六元数是在实数上形成的16维非交换律且非结合律代数结构。彷如八元数，其乘法不符合交换律及结合律。十六元数可以透过将八元数套用凯莱-迪克森结构来构造。然而，与八元数不一样，十六元数甚至不符合交错代数。尽管如此，十六元数仍然符合幂结合性。此外，十六元数中存在零因子，例如
×
=
0
{\displaystyle {{\left}\times {\left}}=0}
，这点与八元数截然不同——因此，十六元数无法构成整环，也无法构成除环。
在数学中，三十二元数是指32个维度的代数系统。较常见的定义是透过将十六元数套用凯莱-迪克森结构生成的32维代数系统。这种代数系统不是可除代数，且不具备交换律和结合律。
在数学中，三十二元数是指32个维度的代数系统。较常见的定义是透过将十六元数套用凯莱-迪克森结构生成的32维代数系统。这种代数系统不是可除代数，且不具备交换律和结合律。
在数学中，在一个集合上的交有两种定义：关于在这个集合上的偏序关系的唯一下确界，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换律结合律二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序关系方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。
数学里的非阿贝尔群，也称非交换群，是一种群。它由自身的集合G和二元运算 * 构成，在符合群的定义之余，G至少存在两个元素a和b，满足条件
a
∗
b
≠
b
∗
a
{\displaystyle a*b\neq b*a}
。
非阿贝尔是为了与阿贝尔群区分开来，其中所有的元素都满足交换律。
在群论中，循环群，是指能由单个元素所群的生成集合的群。有限群循环群同构于整数同余加法群
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} }
，无限循环群则同构于整数加法群。每个循环群都是阿贝尔群，亦即其运算是交换律。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。
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