同调群 编辑
数学上，同调 是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象联系起来的过程。背景知识请参看同调论。
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拟同构是同调代数中的一个概念。链复形间的态射




A

∙


→

B

∙




{\displaystyle A_{\bullet }\to B_{\bullet }}

被称为拟同构，如果它所诱导的所有同调群间的同态




H

n



→

H

n





{\displaystyle H_{n}\to H_{n}}

都是同构。上链复形间的态射




A

∙


→

B

∙




{\displaystyle A^{\bullet }\to B^{\bullet }}

被称为拟同构，如果它所诱导的所有上同调群间的同态




H

n



→

H

n





{\displaystyle H^{n}\to H^{n}}

都是同构。
在拓扑学中，两个同维数流形之间的连续函数的度数非正式地说是一个点被盖住的次数。一个映射的度数可用同调群，或正则值的原像定义。它是卷绕数的一个推广。例如，考虑复平面上映射 z，视为 黎曼球面 到自身的映射，具有度数 n，它将球面绕自身缠了 n 圈。
在微分拓扑中，莫尔斯理论的技术给出了一个非常直接的分析一个流形的拓扑的方法，它是通过研究该流形上的可微函数达成。根据莫尔斯的基本见解，一个流形上的一个可微函数在典型的情况下，很直接的反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW复形和柄分解，并得到关于它们的同调群的信息。在莫尔斯之前，凯莱和麦克斯韦在制图学的情况下发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。
在微分拓扑中，莫尔斯理论的技术给出了一个非常直接的分析一个流形的拓扑的方法，它是通过研究该流形上的可微函数达成。根据莫尔斯的基本见解，一个流形上的一个可微函数在典型的情况下，很直接的反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW复形和柄分解，并得到关于它们的同调群的信息。在莫尔斯之前，凯莱和麦克斯韦在制图学的情况下发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。
在拓扑学中，两个同维数流形之间的连续函数的度数非正式地说是一个点被盖住的次数。一个映射的度数可用同调群，或正则值的原像定义。它是卷绕数的一个推广。例如，考虑复平面上映射 z，视为 黎曼球面 到自身的映射，具有度数 n，它将球面绕自身缠了 n 圈。
在拓扑学中，两个同维数流形之间的连续函数的度数非正式地说是一个点被盖住的次数。一个映射的度数可用同调群，或正则值的原像定义。它是卷绕数的一个推广。例如，考虑复平面上映射 z，视为 黎曼球面 到自身的映射，具有度数 n，它将球面绕自身缠了 n 圈。