辛几何，也叫辛拓扑，是微分几何的一个分支。其研究对象为辛流形，亦即带有闭微分形式非退化微分形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿力学，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。
数学上，一个辛流形是一个装备了一个闭微分形式和恰当微分形式、非退化微分形式ω的光滑流形，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学的抽象表述中的流形的余切丛自然的出现，例如在经典力学的哈密顿力学中，该领域的一个主要原因之一：一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模，而该流形的余切丛描述了该系统的相空间。
相空间表述是量子力学的一种表述。在这一表述中，系统的状态是在相空间中描述的，位置向量与动量被放在同等重要的位置。在量子力学常用的薛定谔绘景中则只会采用位置空间与动量空间中的一种。相空间表述两个关键的特点是：量子态是以准概率分布描述的而非波函数、态矢或是密度矩阵；算符间的乘法被穆瓦亚尔积取代。
量子力学的数学表述是对量子力学进行严谨描述的数学表述体系。与20世纪初发展起来的旧量子论的数学形式不同，它使用了一些抽象的代数结构，如无穷维希尔伯特空间和这些空间上的线性映射。这些结构中有许多源于泛函分析。这一纯粹数学研究领域的发展过程既平行于又受影响于量子力学的需要。简而言之，物理可观察量的值，如能量和动量的值不再作为相空间上的函数值，而是作为特征向量，或者更为精确地来说是希尔伯特空间中线性算子的谱值。
在数学中，特别是在动态系统理论里，极限环是相空间里的一条闭合的轨迹，使得至少另一个轨迹会随自变量变化而逐渐逼近它。极限环是非线性系统特有的现象，线性系统可以有周期函数，但不存在极限环。在实数轴上的一维自治系统不存在周期解，故只有二维以上或非自洽系统才会有极限环。
微分几何中，流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛。余切空间有一个标准的辛形式，从中可以一个余切丛的非退化的体积形式。因此，本身作为一个流形的余切丛总是可定向的。可以在余切丛上定义一组特殊的坐标系；这些被称为正则坐标。因为余切丛可以视为辛流形，任何余切丛上的实函数总是可以解释为一个辛向量空间；这样余切丛可以理解为哈密顿力学讨论的相空间。
在古典力学里，正则座标是相空间的一种座标。正则座标很自然的出现于哈密顿力学的研究。正如同哈密顿力学的被辛几何广义化，正则变换也被切触变换广义化。如此在古典力学里，正则座标的19世纪定义也被广义化，成为更抽象地以余切丛为基础的20世纪定义。
辛几何，也叫辛拓扑，是微分几何的一个分支。其研究对象为辛流形，亦即带有闭微分形式非退化微分形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿力学，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。
辛几何，也叫辛拓扑，是微分几何的一个分支。其研究对象为辛流形，亦即带有闭微分形式非退化微分形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿力学，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。
在物理学中，刘维尔定理是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。换一种表述，就是共轭相空间里，一个哈密顿系统的相体积不可压缩。
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