在数学中，结合律是二元运算可以有的一个性质，意指在一个包含有二个以上的可结合运算子的表示式，只要运算数的位置没有改变，其运算的顺序就不会对运算出来的值有影响。亦即，重新排列表示式中的括号并不会改变其值。例如：
环是由集合R和定义于其上的两种二元运算所构成的，符合一些性质的代数结构。
单位元，也称为恒等元、中立元是集合里的一种特别的元素，与该集合里的二元运算有关。当单位元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。单位元被使用在群和其他原群之中。
数学中，矩阵乘法是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积。设
A
{\displaystyle A}
是
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
的矩阵，
B
{\displaystyle B}
是
m
×
p
{\displaystyle m\times p}
的矩阵，则它们的矩阵积
A
B
{\displaystyle AB}
是
n
×
p
{\displaystyle n\times p}
的矩阵。
A
{\displaystyle A}
中每一行的
m
{\displaystyle m}
个元素都与
B
{\displaystyle B}
中对应列的
m
{\displaystyle m}
个元素对应相乘，这些乘积的和就是
A
B
{\displaystyle AB}
中的一个元素。
在数学中，群是由一种集合以及一个二元运算所组成的代数结构，并且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质，分别是闭包、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆元。
原群是抽象代数领域中一种基本代数结构。原群定义为一个集合和这个集合上满足闭包的一个二元运算，即：对于集合
M
{\displaystyle M}
和
M
{\displaystyle M}
上的一个二元运算
∙
{\displaystyle \bullet }
，若满足
M
{\displaystyle M}
中的任意两个元素经过
∙
{\displaystyle \bullet }
作用，得到的结果仍在
M
{\displaystyle M}
中，则称它们构成一个原群，记作
{\displaystyle }
。
数学符号不只被使用于数学里，更包含于物理科学、工程学及经济学等领域内。有些数学符号在生活中很常见，例如数字1及2、二元运算、加法等，尽管它们的实际定义可能并不显浅；随着数学观念的发展，我们需要更多的符号以避免冗长的定义陈述，或是简洁地表示某些概念。一些可能出现在教科书上的符号有正弦
sin
{\displaystyle \sin }
、极限
lim
{\displaystyle \lim }
和微分
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}}
；也有更为基本、然而抽象的符号，比如函数
f
{\displaystyle f}
、等式
=
{\displaystyle =}
及变数
x
{\displaystyle x}
等等。
假设
{\displaystyle }
是一个群，若
H
{\displaystyle H}
是
G
{\displaystyle G}
的一个非空子集且同时
H
{\displaystyle H}
与相同的二元运算
∗
{\displaystyle *}
亦构成一个群，则
{\displaystyle }
称为
{\displaystyle }
的一个子群。参阅群论。
在数学和向量代数领域，外积又称向量积，是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号
×
{\displaystyle \times }
。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
和
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
，它们的外积写作
a
×
b
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
，是
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
和
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
所在平面的法线向量，与
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
和
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
都垂直。外积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。
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