环是由集合R和定义于其上的两种二元运算所构成的，符合一些性质的代数结构。
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张量范畴，或曰幺半范畴， 直觉地讲，是个配上张量积的阿贝尔范畴，可当作环的范畴化。
单位又被称为可逆元。在数学里，于一环
R
{\displaystyle R\,}
内的可逆元是指一
R
{\displaystyle R\,}
的可逆元素，即一元素
u
{\displaystyle u\,}
使得存在一于
R
{\displaystyle R\,}
内的
v
{\displaystyle v\,}
有下列性质：
u
v
=
v
u
=
1
R
{\displaystyle uv=vu=1_{R}\,}
，其中
1
R
{\displaystyle 1_{R}\,}
是乘法单位元。
抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格与代数。“抽象代数”一词出现于20世纪初，作为与其他代数领域相区别之学科。
微分代数是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、体、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹法则的一元算子。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C，其导子是关于 t 的微分。
在数学的抽象代数中，环上的模的概念是对向量空间概念的推广，这里不再要求向量空间里的纯量的代数结构是域，进而放宽纯量可以是环。
诺特环是抽象代数中一类满足升链条件的环。希尔伯特首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的，随后埃米·诺特从中提炼出升链条件，诺特环由此命名。
在抽象代数中，一个环
R
{\displaystyle R}
上的平坦模是一个
R
{\displaystyle R}
-模
M
{\displaystyle M}
，使得函子
−
⊗
R
M
{\displaystyle -\otimes _{R}M}
保持正合序列；若此函子还是忠实函子，则称之为忠实平坦模
在抽象代数中，一个环
R
{\displaystyle R}
上的平坦模是一个
R
{\displaystyle R}
-模
M
{\displaystyle M}
，使得函子
−
⊗
R
M
{\displaystyle -\otimes _{R}M}
保持正合序列；若此函子还是忠实函子，则称之为忠实平坦模
在抽象代数中，多项式环推广了初等数学中的多项式。一个环
R
{\displaystyle R}
上的多项式环是由系数在
R
{\displaystyle R}
中的多项式构成的环，其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。在范畴论的语言中，当
R
{\displaystyle R}
为交换环时，多项式环可以被刻划为交换
R
{\displaystyle R}
-交换环上的代数范畴中的自由对象。
在抽象代数中，局部化是一种在环中形式地添加某些元素的逆元素，藉以建构分数的技术；由此可透过张量积构造模的局部化。范畴论的局部化过程类似，但此时加入的是态射之逆元素，以使得这些态射在局部化以后变为同构。
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