数学上，赋范向量空间中的单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”，如：
i
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} }
。欧几里得空间中，两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦。
对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。
弱*拓扑是赋范向量空间的对偶空间上的一种拓扑。弱*拓扑的的重要性，在于它使得单位球是紧集；相反地在线性算子范数诱发的拓扑中，单位球未必紧致。
算子范数是数学中泛函分析里的概念。算子范数衡量的是线性映射或线性算子的“大小”，通常指的是两个赋范向量空间之间的有界算子所构成的空间的范数。
在泛函分析此一数学分支里，有界线性算子是指在赋范向量空间X 及Y 之间的一种线性映射L，使得对所有X 内的非零向量v，L 的范数与v 的范数间的比值会有界集合在相同的数字内。亦即，存在一些M > 0，使得对所有在X 内的v，
在数学里，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空间是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。其完备性体现在，空间内任意向量的柯西序列总是收敛到一个良定义的位于空间内部的极限。
数学上，赋范向量空间中的单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”，如：
i
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{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} }
。欧几里得空间中，两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦。
泛函分析和邻近数学分支中，巴拿赫-阿劳格鲁定理或阿劳格鲁定理断言，任意赋范向量空间的连续对偶空间中，闭集球在弱*拓扑中为紧空间。常见证明将弱*拓扑中的单位球看成一系列紧集之笛卡儿积的闭子集。根据吉洪诺夫定理，该些紧集的积空间仍为紧，故该球亦然。
在数学中，若一个赋范向量空间上的函数满足
数学上，一个索伯列夫空间是一个由函数组成的赋范向量空间，对于某个给定的p ≥ 1，它对一个函数f和它的直到某个k阶导数加上有限Lp空间的这个条件。它以前苏联数学家舍盖·索伯列夫来命名。
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