理想是一个环论中的概念。
若某环之一子集与原先的加法自成一群，且该子环内所有元素与原环之元素相乘的结果均在其内，则称其为原环的理想。
通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。
理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环，这类似于在群论里，正规子群可以被用来构造商群。
在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。
数学上的单群是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，合成列表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列。在2008年完成的有限单群分类工作是数学史上一个重要的里程碑。
数学上的单群是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，合成列表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列。在2008年完成的有限单群分类工作是数学史上一个重要的里程碑。
在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义：
[
x
,
y
]
=
x
y
x
−
1
y
−
1
{\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}
，如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群{e}。
抽象代数的群论中，群G的外自同构群Out是自同构群Aut对内自同构群Inn的商群Aut/Inn。
数学上的单群是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，合成列表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列。在2008年完成的有限单群分类工作是数学史上一个重要的里程碑。
理想是一个环论中的概念。
若某环之一子集与原先的加法自成一群，且该子环内所有元素与原环之元素相乘的结果均在其内，则称其为原环的理想。
通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。
理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环，这类似于在群论里，正规子群可以被用来构造商群。
在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。
在群论中，如果有一个自由群正规子群F，使得商群G/F是循环群，则群G称为free-by-cyclic群，
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