形状理论是拓扑学的一个分支，它是同伦理论的扩展，考虑了特殊局部属性的情形。形状理论将同伦理论扩展至更一般的空间上，比如紧致度量空间，或紧致豪斯多夫空间。
拓扑学中的virtual哈肯猜想，是指紧致可定向不可约3-流形，若有无限基本群，就是virtual哈肯的，即有一个有限覆盖是哈肯流形。
数学上，闭流形是指无边界的紧致流形。如讨论背景中的流形不可能有边界，那么紧致流形都是闭流形。留意闭流形中的“闭”是指封闭，不是拓扑学概念的闭集。
在数学中，迪尼定理叙述如下：设 X 是一个紧致的拓扑空间， f 是 X 上的一个单调递增的连续实值函数列。如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数 f ，那么这个函数列一致收敛到 f 。这个定理以意大利数学家乌利塞·迪尼命名。
数学的点集拓扑学中，斯通-切赫紧化是构造出从拓扑空间X到紧致豪斯多夫空间βX的泛映射的技巧。拓扑空间X的斯通－切赫紧化βX是由X“生成”的最大的紧致豪斯多夫空间，意即任何从X到紧致豪斯多夫空间的映射，都可以经由βX分解。若X是吉洪诺夫空间，则从X到其在βX中的像的映射是同胚，因此可以想像X是在βX中的稠密子空间。对一般拓扑空间，从X到βX的映射未必是单射。
弱*拓扑是赋范向量空间的对偶空间上的一种拓扑。弱*拓扑的的重要性，在于它使得单位球是紧集；相反地在线性算子范数诱发的拓扑中，单位球未必紧致。
在数学中，塞伯格-威滕不变量为紧致光滑4-流形的不变量。类似于唐纳森不变量，塞伯格-威滕不变量常被用来证明光滑4-流形的相似结果，但相较之下比唐纳森不变量方便许多，例如：塞伯格-维腾方程式中的模空间解趋于被紧致化，从而避免了唐纳森理论中紧化模空间时所引出的一些困难。它由内森·塞伯格和爱德华·威滕提出。
在数学中，塞伯格-威滕不变量为紧致光滑4-流形的不变量。类似于唐纳森不变量，塞伯格-威滕不变量常被用来证明光滑4-流形的相似结果，但相较之下比唐纳森不变量方便许多，例如：塞伯格-维腾方程式中的模空间解趋于被紧致化，从而避免了唐纳森理论中紧化模空间时所引出的一些困难。它由内森·塞伯格和爱德华·威滕提出。
在数学中，塞伯格-威滕不变量为紧致光滑4-流形的不变量。类似于唐纳森不变量，塞伯格-威滕不变量常被用来证明光滑4-流形的相似结果，但相较之下比唐纳森不变量方便许多，例如：塞伯格-维腾方程式中的模空间解趋于被紧致化，从而避免了唐纳森理论中紧化模空间时所引出的一些困难。它由内森·塞伯格和爱德华·威滕提出。
在数学上，吉洪诺夫定理断言，任意个紧致空间的乘积空间对于乘积拓扑是紧致的，这个定理1930年由苏联数学家安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫发表。这个定理在微分拓扑、代数拓扑和泛函分析等领域中有诸多运用。
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