自由对象 编辑
在数学中，自由对象是抽象代数中的基本概念。就其通于各种代数结构而言，它也属泛代数的一支，例子包括自由群、张量代数与自由格。在范畴论的框架下，可以将自由对象推广为自由函子，这是遗忘函子的左伴随函子。
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在抽象代数中，有限生成意谓一个代数结构中存在有限多个元素




x

1


,
…
,

x

n




{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}

，使得每个元素都能由这些元素的代数运算生成；或者形式地说，谓该结构能表成有限个生成元的自由对象的商。这类对象有时也称为有限型的。
在抽象代数中，多项式环推广了初等数学中的多项式。一个环



R


{\displaystyle R}

上的多项式环是由系数在



R


{\displaystyle R}

中的多项式构成的环，其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。在范畴论的语言中，当



R


{\displaystyle R}

为交换环时，多项式环可以被刻划为交换



R


{\displaystyle R}

-交换环上的代数范畴中的自由对象。
在数学中，一个群



G


{\displaystyle G}

被称作自由群，如果存在



G


{\displaystyle G}

的子集



S


{\displaystyle S}

使得



G


{\displaystyle G}

的任何元素都能唯一地表成由



S


{\displaystyle S}

中元素及其逆元组成之乘积；此时也称



G


{\displaystyle G}

为集合



S


{\displaystyle S}

上的自由群，其群结构决定于集合



S


{\displaystyle S}

，记为



F



{\displaystyle F}

，



S


{\displaystyle S}

称作一组基底。按照范畴论的观点，自由群也可以抽象地理解为群范畴中的自由对象。