可数集合 编辑
在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基数的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和无限可数集组成。不是可数集的无限集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。
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递归可枚举集合是可计算性理论或更狭义的递归论中的一个概念。可数集合被称为是递归可枚举、计算可枚举的、半可判定的或可证明的，如果
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康托尔定理指的是在ZFC中，声称任何集合A的幂集的势严格大于A的势。康托尔定理对于有限集合是明显的，但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。同时证明了，可数集合集合构造的幂集的基数是不可数无限，以此创造出不可数无限的概念。
可数选择公理，指示为





AC


ω




{\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}

，是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数集合搜集都一定有选择函数。保罗·寇恩证明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合论中是不可证明的。
在可计算性理论中，一个可数集合被称为递归的、可计算的或具可判定性，如果我们可以构造一个算法，使之能在有限时间内终止并判定一个给定元素是否属于这个集合。更一般的集合的类叫做递归可枚举集合。这些集合包括递归集合，对于这种集合，只需要存在一个算法，当某个元素位于这个集合中时，能够在有限时间内给出正确的判定结果，但是当元素不在这个集合中时，算法可能会永远运行下去。
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在数理逻辑中，特别是集合论中，Skolem 悖论是向下 Löwenheim-Skolem定理的直接结果，它声称所有一阶语言的句子的模型论都有一个初等等价的可数集合子模型。