抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间、格与代数。“抽象代数”一词出现于20世纪初，作为与其他代数领域相区别之学科。
狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余中分布的定理：对于任意互质正整数对
{\displaystyle }
，模
N
{\displaystyle N}
同余
r
{\displaystyle r}
的质数集合
{
x
|
r
≡
x
mod
N
;
x
i
s
p
r
i
m
e
}
{\displaystyle \{x|r\equiv x{\bmod {N}};x\ is\ prime\}}
相对质数集合
{
x
|
x
i
s
p
r
i
m
e
}
{\displaystyle \{x|x\ is\ prime\}}
的自然密度为
1
ϕ
{\displaystyle {\frac {1}{\phi }}}
。
表示论是数学中抽象代数的一支。旨在将抽象代数代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换，并研究这些代数结构上的模，藉以研究结构的性质。略言之，表示论将一代数对象表作较具体的矩阵，并使得原结构中的代数运算对应到矩阵加法和矩阵乘法。此法可施于群、结合代数及李代数等多种代数结构；其中肇源最早，用途也最广的是群表示论。设
G
{\displaystyle G}
为群，其在域
F
{\displaystyle F}
表示是一
F
{\displaystyle F}
-矢量空间
V
{\displaystyle V}
及映至一般线性群之群同态
诺特模是抽象代数中一类满足升链条件的模，定义方式类似诺特环。
在抽象代数中，交换代数旨在探讨环及其理想，以及交换环上的模。代数数论与代数几何皆奠基于交换代数。交换环中最突出的例子包括多项式环、代数整数环与P进数环，以及它们的各种商环与局部化。
数学上，同调代数领域中的一个链复形
{\displaystyle }
是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式：
在抽象代数中，局部化是一种在环中形式地添加某些元素的逆元素，藉以建构分数的技术；由此可透过张量积构造模的局部化。范畴论的局部化过程类似，但此时加入的是态射之逆元素，以使得这些态射在局部化以后变为同构。
在数学中，张量积，记为
⊗
{\displaystyle \otimes }
，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性算子。在某些上下文中也叫做外积。
在数学里，尤其是在群论、环与模理论、同调代数及微分几何等数学领域中，正合序列是指一个由对象及其间的态射所组成的序列，该序列中的每一个态射的像都恰好是其下一个态射的核。正合序列可以为有限序列或无限序列。
数学上，同调代数领域中的一个链复形
{\displaystyle }
是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式：
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