量子力学的数学表述是对量子力学进行严谨描述的数学表述体系。与20世纪初发展起来的旧量子论的数学形式不同，它使用了一些抽象的代数结构，如无穷维希尔伯特空间和这些空间上的线性映射。这些结构中有许多源于泛函分析。这一纯粹数学研究领域的发展过程既平行于又受影响于量子力学的需要。简而言之，物理可观察量的值，如能量和动量的值不再作为相空间上的函数值，而是作为特征向量，或者更为精确地来说是希尔伯特空间中线性算子的谱值。
维格纳定理是由尤金·维格纳在1931年证明的，这个定理是量子力学的数学表述的奠基石。这个定理描述的是系统的对称性，即例如旋转，平移或者CPT这些操作是如何改变希尔伯特空间上的态。
双态系统，在量子力学里是一种拥有两个互相独立的量子态的量子系统。更正式地说，双态系统的希尔伯特空间是二维的，自由度是2。注意，这并不是指该系统只有两个量子态，因为根据量子力学公设态叠加原理，系统可以处于这两个独立量子态的任意叠加态。
狄拉克符号或狄拉克标记是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的态向量，定义为右矢：
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
；每一个右矢的共轭转置定义为其左矢；换一种说法，右矢的厄米共轭，就可以得到左矢。
瑟凯福尔维-纳吉·贝洛，出生于克卢日-纳波卡，马扎尔人数学家。他的父亲瑟凯福尔维-纳吉·久洛也是一位著名的数学家。瑟凯福尔维-纳吉与阿尔弗雷德·哈尔、弗里杰什·里斯合作，是塞盖迪安数学学校的创始人。他对傅里叶级数 理论和逼近理论做出了贡献。他最重要的成就在泛函分析领域，特别是希尔伯特空间的理论。
彼得-魏尔定理是调和分析和群表示论中的一组重要定理，于1927年由赫尔曼·魏尔和他的学生弗里茨·彼得证明。该定理刻画了紧群不可约表示的完备性，可以视作有限群表示理论中弗罗贝尼乌斯定理的推广。定理分为三部分：第一部分指出，紧群
G
{\displaystyle G}
的所有有限维不可约表示酉表示的矩阵元，在
G
{\displaystyle G}
上所有复值连续群函数构成、配备了一致范数的空间中稠密。第二部分指出，
G
{\displaystyle G}
在任何一个可分空间希尔伯特空间上的酉表示都完全可约。第三部分断言，
G
{\displaystyle G}
的所有有限维不可约酉表示的矩阵元构成了
G
{\displaystyle G}
上平方可积函数哈尔测度的复值函数空间的一组标准正交基。
在物理学里，特别是在量子力学里，处于某种状态的物理系统，它所具有的一些性质，可以经过一序列的算符而得知。这些可以得知的性质，称为可观察量。例如，物理运作可能涉及到施加电磁场于物理系统，然后使用实验仪器测量某物理量的数值。在经典力学的系统里，任何可以用实验测量获得的可观察量，都可以用定义于物理系统状态的实函数来表示。在量子力学里，物理系统的状态称为量子态，其与可观察量的关系更加微妙，必须使用线性代数来解释。根据量子力学的数学表述，量子态可以用存在于希尔伯特空间的态向量来代表，量子态的可观察量可以用厄米算符来代表。
在物理学里，特别是在量子力学里，处于某种状态的物理系统，它所具有的一些性质，可以经过一序列的算符而得知。这些可以得知的性质，称为可观察量。例如，物理运作可能涉及到施加电磁场于物理系统，然后使用实验仪器测量某物理量的数值。在经典力学的系统里，任何可以用实验测量获得的可观察量，都可以用定义于物理系统状态的实函数来表示。在量子力学里，物理系统的状态称为量子态，其与可观察量的关系更加微妙，必须使用线性代数来解释。根据量子力学的数学表述，量子态可以用存在于希尔伯特空间的态向量来代表，量子态的可观察量可以用厄米算符来代表。
狄拉克符号或狄拉克标记是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的态向量，定义为右矢：
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ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
；每一个右矢的共轭转置定义为其左矢；换一种说法，右矢的厄米共轭，就可以得到左矢。
数学上，特别是泛函分析中，希尔伯特空间中的每个线性算子有一个相应的伴随算子。算子的伴随将方块矩阵共轭转置推广到无穷维情形。如果我们将希尔伯特空间上的算子视为“广义复数”，则一个算子的伴随起着一个复数的共轭的作用。
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