理想 (环论) 编辑
理想是一个环论中的概念。
若某环之一子集与原先的加法自成一群，且该子环内所有元素与原环之元素相乘的结果均在其内，则称其为原环的理想。
通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。
理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环，这类似于在群论里，正规子群可以被用来构造商群。
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希尔伯特零点定理确立了几何和代数之间的基本关系。数学中一大重要分支——代数几何——正是建立在这一关联的基础之上的。零点定理联系了代数簇与多项式环中的理想。大卫·希尔伯特最早发现了这一关联，并证明了零点定理及其它相关的重要定理。
希尔伯特零点定理确立了几何和代数之间的基本关系。数学中一大重要分支——代数几何——正是建立在这一关联的基础之上的。零点定理联系了代数簇与多项式环中的理想。大卫·希尔伯特最早发现了这一关联，并证明了零点定理及其它相关的重要定理。
在抽象代数之分支环理论中，一个环 R 的雅各布森根是 R 的一个理想，包含在某种意义上“与零接近”的那些元素。
在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。
在环论中，若某非无零因子环除了零理想及其本身两个理想外没有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个体。
在环论中，若某非无零因子环除了零理想及其本身两个理想外没有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个体。
在数学中，特别是交换代数中，分式理想的概念是在对整环的研究中所引入的，并且在戴德金整环的研究中得到丰富。类似于通过给整数引入分母而产生了分数，在整环中，分式理想可认为是为理想引入了在某种意义上的分母。在特定上下文中，为了有所区别，环的普通理想常被强调为整理想。
在抽象代数里，环



R


{\displaystyle R}

的理想



I


{\displaystyle I}

称为主理想，若
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