数学上，空间对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群或者变换群。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示，并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。
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在数学中， 一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说，如果
x
{\displaystyle x}
是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数，那么
x
{\displaystyle x}
是一个流。更形式地说，流是单参数群在一个集合上的群作用。
在数学上，模形式是一种解析函数，这种函数的只接受来自复数平面内上半平面中的值，并且这种函数在一个在模型群的群作用之下，会变成某种类型的函数方程，并且通过函数计算出的值也会呈现出某个增长趋势。模形式理论属于解析数论的范畴。模形式也出现在其他领域，例如代数拓扑和弦理论。
李群是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用与微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其为连续变换群奠定基础。1893年，法文名词groupes de Lie首次出现在李的学生Arthur Tresse的论文第三页中。
李群是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用与微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其为连续变换群奠定基础。1893年，法文名词groupes de Lie首次出现在李的学生Arthur Tresse的论文第三页中。
在群论中，凯莱定理，以阿瑟·凯莱命名，声称所有群G 群同构于在G上的对称群的子群。这可以被理解为G在G的元素上的群作用的一个例子。
在数学，尤其在辛几何中，动量映射是一个与辛流形上的李群的哈密顿群作用有关的工具，可用于构造作用的守恒量。动量映射推广了经典的 动量和角动量。它在各种辛流形的建立中是一个重要的部分，包括将会在后面讨论的symplectic quotients，以及symplectic cuts和sums。
在数学和计算机科学中，半自动机或
M
{\displaystyle M}
-act是幺半群在集合上的乘法性运算。从代数结构的观点来看，它非常接近于群作用的概念。从计算机科学的观点来看，它是只有输入没有输出的自动机。从范畴论的观点来看，作用是如范畴上的函子般重要。
在数学和计算机科学中，半自动机或
M
{\displaystyle M}
-act是幺半群在集合上的乘法性运算。从代数结构的观点来看，它非常接近于群作用的概念。从计算机科学的观点来看，它是只有输入没有输出的自动机。从范畴论的观点来看，作用是如范畴上的函子般重要。
可均群是数学上一个特别的局部紧拓扑群G，具备了一种为在G上的有界函数取平均的操作，而且G在函数上的群作用，不会改变所取得的平均。
李群是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用与微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其为连续变换群奠定基础。1893年，法文名词groupes de Lie首次出现在李的学生Arthur Tresse的论文第三页中。
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