选择公理 编辑
选择公理是数学中的一条集合论公理。这条公理声明，对所有非空集指标集集族





i
∈
I




{\displaystyle _{i\in I}}

，总存在一个索引族





i
∈
I




{\displaystyle _{i\in I}}

，对每一个



i
∈
I


{\displaystyle i\in I}

，均有




x

i


∈

S

i




{\displaystyle x_{i}\in S_{i}}

。选择公理最早于1904年，由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。
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可数选择公理，指示为





AC


ω




{\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}

，是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数集合搜集都一定有选择函数。保罗·寇恩证明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合论中是不可证明的。
巴拿赫-塔斯基定理，是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。
完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论；自洽性指公理系统内不存在悖论。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何，或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一，但后两者并不满足完备性要求，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德尔不完备定理并不矛盾，前者断言不存在既真又假的命题，而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题，就好比第五公设之于欧几里得几何，连续统假设之于公理化集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。
策梅洛-弗兰克尔集合论，含选择公理时常简写为ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理化集合论，不含选择公理的则简写为ZF。它是二十世纪早期为了建构一个不会导致类似罗素悖论的矛盾的集合论所提出的一个公理系统。
在测度论中，勒贝格测度是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 A 的测度记作 λ 。一般来说，我们允许一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，R 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。
维塔利集合是一个勒贝格测度的集合的例子，以朱塞佩·维塔利命名。维塔利定理就是关于这种集合存在与否的存在性定理，它是一个非构造性的结果。维塔利集合有无穷多个，它们的存在性是在选择公理的假设下证明的。
策梅洛-弗兰克尔集合论，含选择公理时常简写为ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理化集合论，不含选择公理的则简写为ZF。它是二十世纪早期为了建构一个不会导致类似罗素悖论的矛盾的集合论所提出的一个公理系统。
完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论；自洽性指公理系统内不存在悖论。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何，或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一，但后两者并不满足完备性要求，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德尔不完备定理并不矛盾，前者断言不存在既真又假的命题，而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题，就好比第五公设之于欧几里得几何，连续统假设之于公理化集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。
在数学上，不可测集指的是一类无法指定有意义的“容积”的集合。在数学上，学者建构此类集合以为形式集合论提供关于长度、面积、体积等观念的资讯。在策梅洛-弗兰克尔集合论的架构下，选择公理蕴含了实数集




R



{\displaystyle \mathbb {R} }

有不可测的子集。
在数学基础中，冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理，即是不使用公理模式。